Question

如图，在三棱锥Ｐ－ABC中, AB="AC=4," D、E、F分别为PA、PC、BC的中点, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.

（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）求直线AB与平面PAF所成的角.

Answer 1

（1）要证明线面垂直关键是对于AF⊥BC垂直的证明，以及平面PBC⊥平面ABC的证明，来得到。
（2）AB与平面PAF所成的角为30⁰.

试题分析：解：（Ⅰ）证明：连结AF, ∵  AB="AC," F为BC的中点,
∴  AF⊥BC, ………………（ 1 分）
又平面PBC⊥平面ABC, 且平面PBC平面ABC于BC,
∴  AF⊥平面PBC. （  2 分）
又∵  BE平面PBC,
∴  AF⊥BE. （ 5 分）
又∵BE⊥DF, DF,
∴  BE⊥平面PAF. （ 5 分）
（Ⅱ）设BEPF="H," 连AH, 由(1)可知AH为AB在平面PAF上的射影,
所以∠HAB为直线AB与平面PAF所成的角.         （  7分）
∵ E 、F分别为PC、BC的中点,
∴H为△PBC的重心, 又BE=3,
∴BH=                        （  9 分）
在Rt△ABH中,              （  10 分）
∴AB与平面PAF所成的角为30⁰.                  （12分）
点评：解决的关键是利用空间中点线面的位置关系来得到证明，以及结合线面角的定义来的得到求解，属于基础题。