Question

2．若数列{a_n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N^*，都有$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q（q为常数），则称数列{a_n}为“类等比数列”．已知数列{b_n}满足：b₁=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N^*，都有b_n•b_n+1=2ⁿ⁺¹．
（1）求证：数列{b_n}是“类等比数列”；
（2）若{b_n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；
（3）设数列{b_n}的前n项和为S_n，试探讨$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{b_n}+{b_{n+1}}}}$是否存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$计算即可；
（2）通过b₁=b及（1）可知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{b•{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n为奇数}\\{\frac{4}{b}•{2}^{\frac{n-2}{2}}，}&{n是偶数}\end{array}\right.$，进而只需解不等式b_2k-1＜b_2k＜b_2k+1即可；
（3）通过（2）分别计算出n=2k-1（k∈N^*）、n=2k（k∈N^*）时$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{b_n}+{b_{n+1}}}}$的表达式并令两者相等，通过方程有无解即可判断．

解答 （1）证明：∵b_n•b_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n+1•b_n+2=2ⁿ⁺²，
∴$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+2}}{{2}^{n+1}}$=2，
∴数列{b_n}是“类等比数列”；
（2）解：∵b₁=b，b_n•b_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴b₂=$\frac{{2}^{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{4}{b}$，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{b•{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n为奇数}\\{\frac{4}{b}•{2}^{\frac{n-2}{2}}，}&{n是偶数}\end{array}\right.$，
∵数列{b_n}是单调递增数列，
∴b_2k-1＜b_2k＜b_2k+1，
即b•2^k-1＜$\frac{4}{b}$•2^k-1＜b•2^k，
整理得：b＜$\frac{4}{b}$＜2b，
解得：$\sqrt{2}$＜b＜2，
∴实数b的取值范围为：（$\sqrt{2}$，2）；
（3）结论：当b=±$\root{4}{8}$时$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{b_n}+{b_{n+1}}}}$=$\sqrt{2}$，否则不存在．
理由如下：
由（2）可知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{b•{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n为奇数}\\{\frac{4}{b}•{2}^{\frac{n-2}{2}}，}&{n是偶数}\end{array}\right.$，
①当n=2k-1（k∈N^*）时，
b_n+b_n+1=b_2k-1+b_2k=b•2^k-1+$\frac{4}{b}•{2}^{k-1}$=（b+$\frac{4}{b}$）•2^k-1，
S_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）
=$\frac{b（1-{2}^{k}）}{1-2}$+$\frac{\frac{4}{b}（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=（2b+$\frac{4}{b}$）•2^k-1-（b+$\frac{4}{b}$），
∴$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{b_n}+{b_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{k→∞}$$\frac{（2b+\frac{4}{b}）•{2}^{k-1}-（b+\frac{4}{b}）}{（b+\frac{4}{b}）•{2}^{k-1}}$=$\frac{2b+\frac{4}{b}}{b+\frac{4}{b}}$=2-$\frac{4}{{4+b}^{2}}$；
②当n=2k（k∈N^*）时，
b_n+b_n+1=b_2k+b_2k+1=$\frac{4}{b}•{2}^{k-1}$+b•2^k=（2b+$\frac{4}{b}$）•2^k-1，
S_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）+b_2k
=（2b+$\frac{4}{b}$）•2^k-1-（b+$\frac{4}{b}$）+$\frac{4}{b}•{2}^{k-1}$=2（b+$\frac{4}{b}$）•2^k-1-（b+$\frac{4}{b}$），
∴$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{b_n}+{b_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{k→∞}$$\frac{2（b+\frac{4}{b}）•{2}^{k-1}-（b+\frac{4}{b}）}{（2b+\frac{4}{b}）•{2}^{k-1}}$=$\frac{2（b+\frac{4}{b}）}{2b+\frac{4}{b}}$=1+$\frac{2}{2+{b}^{2}}$；
令2-$\frac{4}{{4+b}^{2}}$=1+$\frac{2}{2+{b}^{2}}$，
化简得：b⁴=8，
解得：b=±$\root{4}{8}$，
综上所述，当b=±$\root{4}{8}$时$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{b_n}+{b_{n+1}}}}$=$\sqrt{2}$，否则不存在．

点评 本题考查数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．