【题目】已知二次函数满足f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1,
(1)函数f(x)的解析式:
(2)函数f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值:
(3)若当x∈R时,不等式f(x)>3x﹣a恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意:f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c,
∵f(0)=1,
∴c=1.
则f(x)=ax2+bx+1
又∵f(x+1)﹣f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1﹣ax2﹣bx﹣1=2ax+a+b,即2ax+a+b=2x,
由 ,解得:a=1,b=﹣1.
所以函数f(x)的解析式:f(x)=x2﹣x+1
(2)解:由(1)知 ,
根据二次函数的性质可知:开口向上,对称轴x= ,
∴当 时,f(x)有最小值
,
当x=﹣1时,f(x)有最大值3
(3)解:对于任意x,不等式f(x)>3x﹣a恒成立,即x2﹣x+1>3x﹣a,
将可化为:a>3x﹣x2+x﹣1,即a>﹣x2+4x﹣1恒成立,
设g(x)=﹣x2+4x﹣1,x∈R,可知g(x)的最大值为3,
所以:a>3
对于任意x,不等式f(x)>3x﹣a恒成立,即x2﹣x+1>3x﹣a,
将可化为:a>3x﹣x2+x﹣1,即a>﹣x2+4x﹣1恒成立,
设g(x)=﹣x2+4x﹣1,x∈R,可知g(x)的最大值为3,
所以:a>3
【解析】(1)设函数f(x)的解析式,利用待定系数法求解.(2)利用二次函数的性质求解在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值:(3)分离参数法,将不等式转化为二次函数的问题求解.
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某农场预算用5600元购买单价为50元(每吨)的钾肥和20元(每吨)的氮肥,希望使两种肥料的总数量(吨)尽可能的多,但氮肥数不少于钾肥数,且不多于钾肥数的1.5倍.
(Ⅰ)设买钾肥x吨,买氮肥y吨,按题意列出约束条件、画出可行域,并求钾肥、氮肥各买多少才行?
(Ⅱ)已知A(10,0),O是坐标原点,P(x,y)在(Ⅰ)中的可行域内,求 的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知不交于同一点的三条直线l1:4x+y﹣4=0,l2:mx+y=0,l3:x﹣my﹣4=0
(1)当这三条直线不能围成三角形时,求实数m的值.
(2)当l3与l1 , l2都垂直时,求两垂足间的距离.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数y=f(x)和y=g(x)在[﹣2,2]上的图象如图所示.给出下列四个命题:
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根;
②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根;
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根;
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根.
其中正确的命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于函数f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”,已知函数f(x)= 是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[1,2]
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)处的切线的斜率分别是kA , kB , 规定φ(A,B)= 叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题: 1)函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1,2,则φ(A,B)>
;
2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
3)设点A、B是抛物线,y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
4)设曲线y=ex上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立,则实数t的取值范围是(﹣∞,1);
以上正确命题的序号为(写出所有正确的)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com