Question

已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R．

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小之时，求其最小值(a)的解析式；

(3)对(2)中的(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，(a)≤1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝，(x)＝(x＞0)， 　　由已知得解德a＝，x＝e2， 　　两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为k＝f’(e2)＝， 　　切线的方程为y－e＝(x－e2)． 　　(2)由条件知h(x)＝－alnx(x＞0)， 　　 　　Ⅰ：当a＞0时，令(x)＝0，解得x＝4a2， 　　所以当0＜x＜4a2时 (x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减； 　　当x＞4a2时，(x)＞0，h(x)在(0，4a2)上递增． 　　所以x＞4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点． 　　所以Φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2＝2 　　Ⅱ当a≤0时，h(x)＝(1/2－2a)/2x＞0，h(x)在(0，＋∞)递增，无最小值． 　　故h(x)的最小值Φ(a)的解析式为2a(1－ln2a)(a＞0) 　　(3)由(2)知Φ(a)＝2a(1－ln2a) 　　则Φ1(a)＝－2ln2a，令Φ1(a)＝0解得a＝1/2 　　当0＜a＜1/2时，Φ1(a)＞0，所以Φ(a)在(0，1/2)上递增 　　当a＞1/2时，Φ1(a)＜0，所以Φ(a)在(1/2，＋∞)上递减． 　　所以Φ(a)在(0，＋∞)处取得极大值Φ(1/2)＝1 　　因为Φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极致点，所以Φ(1/2)＝1也是Φ(a)的最大值 　　所当a属于(0，＋∞)时，总有Φ(a)≤1