已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时,求其最小值(a)的解析式;
(3)对(2)中的(a),证明:当a∈(0,+∞)时,(a)≤1.
解:(1)(x)=,(x)=(x>0), 由已知得解德a=,x=e2, 两条曲线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为k=f’(e2)=, 切线的方程为y-e=(x-e2). (2)由条件知h(x)=-alnx(x>0),
Ⅰ:当a>0时,令(x)=0,解得x=4a2, 所以当0<x<4a2时 (x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减; 当x>4a2时,(x)>0,h(x)在(0,4a2)上递增. 所以x>4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点. 所以Φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2 Ⅱ当a≤0时,h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值. 故h(x)的最小值Φ(a)的解析式为2a(1-ln2a)(a>0) (3)由(2)知Φ(a)=2a(1-ln2a) 则Φ1(a)=-2ln2a,令Φ1(a)=0解得a=1/2 当0<a<1/2时,Φ1(a)>0,所以Φ(a)在(0,1/2)上递增 当a>1/2时,Φ1(a)<0,所以Φ(a)在(1/2,+∞)上递减. 所以Φ(a)在(0,+∞)处取得极大值Φ(1/2)=1 因为Φ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极致点,所以Φ(1/2)=1也是Φ(a)的最大值 所当a属于(0,+∞)时,总有Φ(a)≤1 |
科目:高中数学 来源:2011届南京市金陵中学高三第四次模拟考试数学试题 题型:解答题
(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a为正数).
(1) 若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的单调区间;
(3) 设g(x)=x2-2x,若对任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州市高三上学期开学考试数学卷 题型:选择题
已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的范围是( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三天5月模拟文科数学试题 题型:填空题
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x无实根,下列命题中:
(1)方程f [f (x)]=x一定无实根;
(2)若a>0,则不等式f [f (x)]>x对一切实数x都成立;
(3)若a<0,则必存在实数x0,使f [f (x0)]>x0;
(4)若a+b+c=0,则不等式f [f (x)]<x对一切x都成立;
正确的序号有 .
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科目:高中数学 来源:2012届江西省南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学试卷 题型:选择题
已知函数f(x)=|lg(x-1)|-()x有两个零点x1,x2,则有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
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