Question

设函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，且对于任意正数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），已知f（2）=1．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）一个各项均为正数的数列{a_n}满足：f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是数列{a_n}的前n项的和，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在正数M，使
2ⁿ•a₁•a₂…a_n≥M

2n+1

(2a2-1)-（2a₂-1）…（2a_n-1）对一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=

1

2

，即可求f（

1

2

）的值；
（2）根据f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]，函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a_n}各项为正数，可得S_n=

1

2

a_n（a_n+1），再写一式，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（3）假设M存在满足条件，分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0
令x=2，y=

1

2

，则f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）
∵f（2）=1
∴f（

1

2

）=-1
（2）∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]
∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a_n}各项为正数
∴S_n=

1

2

a_n（a_n+1）①
当n=1时，可得a₁=1；
当n≥2时，S_n-1=

1

2

a_n-1（a_n-1+1）②
①-②可得a_n=

1

2

a_n（a_n+1）-

1

2

a_n-1（a_n-1+1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
即a_n-a_n-1=1
∴数列{a_n}为等差数列，a₁=1，d=1；
∴a_n=1+（n-1）×1=n
（3）∵假设M存在满足条件，即M≤

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

对一切n∈N^*成立，
设g（n）=

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

，
∴g（n+1）=

2n+1×1×2×…×n×(n+1)

2n+3 ×1×3×…×(2n-1)(2n+1)

，
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 • 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，
∴∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）单调递增，
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，0＜M≤

2 3

3

，
∴存在正数M，使所给定的不等式恒成立，M的取值范围为（0，

2 3

3

]

点评：本题本题考查了数列不等式的综合，考查了等比数列的判断，训练了利用导数研究函数的单调性，训练了放缩法证明数列不等式，属于难题