【题目】已知函数 .
(1)当时,讨论的单调性;
(2)设,当时,若对任意,存在使,求实数取值.
【答案】(1)当时,函数在上单调递减;函数在上单调递增;当时,函数在上单调递减;
当时,函数在上单调递减;函数在上单调递增;函数在上单调递减;(2).
【解析】分析:(1)先求定义域,再对函数求导, ,
令 ,分,,,,四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况,得函数f(x)的单调区间。
(2)因为,由于(I)知,在上的最小值为,
由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”,由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值,再求得b范围。
详解:(1)定义域
因为
所以
令
(i)当时,
所以当时, ,此时,函数单调递增;
当时, ,此时,函数单调递增
(ii)当时,由,
即,解得
①当时, ,恒成立,此时,函数在上单调递减;
②当时,
时, ,此时,函数单调递减;
时, ,此时,函数单调递增;
时, ,此时,函数单调递减;
③当时,由于
时, ,此时,函数单调递减;
时, ,此时,函数单调递增;
综上所述:
当时,函数在上单调递减;
函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递减;
当时,函数在上单调递减;
函数在上单调递增;
函数在上单调递减
(2)因为,由于(I)知, ,当时, ,
函数单调递减:当时, ,函数单调递增,所以在上的最小值为
由于“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”
又,,所以
①当时,因为 ,此时与矛盾
②当时,因为,同样与矛盾
③当时,因为,解不等式
可得
综上, 的取值范围是.
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【题目】某公司制造两种电子设备:影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后,要对产品进行检测,故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.
商品类型 | 播放器每天平均产量 | 播放器每天平均故障率 |
影片播放器 | 3000 | 4% |
音乐播放器 | 9000 | 3% |
下面是关于公司每天生产量的叙述:
①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器;
②在任何一批数量为100的影片播放器中,恰好有4个会是故障的;
③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测,此产品需要进行修复的概率是0.03.
上面叙述正确的是___________.
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【题目】(Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣3|﹣2|x|,若关于x不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求证 .
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【题目】给出下列四个命题:①命题“若,则”的逆否命题为假命题:
②命题“若,则”的否命题是“若,则”;
③若“”为真命题,“”为假命题,则为真命题,为假命题;
④函数有极值的充要条件是或 .
其中正确的个数有( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数f(x)=e2x(ax2+2x﹣1),a∈R.
(Ⅰ)当a=4时,求证:过点P(1,0)有三条直线与曲线y=f(x)相切;
(Ⅱ)当x≤0时,f(x)+1≥0,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,棱长为1(单位:)的正方体木块经过适当切割,得到几何体,已知几何体由两个底面相同的正四棱锥组成,底面平行于正方体的下底面,且各顶点均在正方体的面上,则几何体体积的取值范围是________(单位:).
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【题目】某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为,,,,五个等级,分别对应5分,4分,3分,2分,1分,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为的学生有8人.
(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为的人数;
(Ⅱ)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分,其中有2人10分,3人9分,5人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.
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【题目】在xOy平面上,将双曲线的一支 及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y轴旋转一周所得的几何体为,过 作的水平截面,计算截面面积,利用祖暅原理得出体积为________
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