Question

【题目】已知函数f（x）＝ex﹣有两个极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析

【解析】

（1）f′（x）＝ex﹣ax．函数f（x）＝ex有两个极值点f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．

（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2＞2﹣＞1，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．

（1）解：f′（x）＝ex﹣ax．

∵函数f（x）＝ex有两个极值点．

∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．

x＝0时不满足上述方程，

方程化为：a，

令g（x），（x≠0）．

g′（x），

可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．

g（1）=e,得到函数草图如图所示.

a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．

∴实数a的取值范围是（e，+∞）．

（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．

证明：+＞2＞2﹣＞1，

由，因此即证明：．

构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．

h′（x）（x﹣1），

令函数u（x），（0＜x＜2）．

u′（x）．

可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．

v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．

∴h（x）＞h（1）＝0,

∴．

因此+＞2成立．