Question

已知二项式(5x-

1

x

)n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
（1）求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式中所有x的有理项．

Answer 1

分析：（1）由于各项系数之和为M=4ⁿ，二项式系数之和为N=2ⁿ，M-N=240=4ⁿ-2ⁿ，解方程求得 n 的值．
（2）利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为1得到系数，得到结果．
（3）根据第二问写出的结果，使得x的指数是整数，列举出有三个结果，写出这几项即可．

解答：解：（1）由已知得：4ⁿ-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4…（3分）
（2）通项Tr+1=

C

r 4

(5x)4-r(-

1

x

)r=

C

r 4

54-r(-1)rx4-

3

2

r，
令4-

3

2

r=1⇒r=2
所以含x项的系数：C₄²5²（-1）²=150…（8分）
（3）由（2）得：4-

3

2

r∈Z，(r=0，1，2，3，4)，即r=0，2，4
所以展开式中所有x的有理项为：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2…（13分）

点评：本题考查各项系数之和，与二项式系数之和的关系，得到 各项系数之和为M=4ⁿ，二项式系数之和为N=2ⁿ，是解题的关键．