Question

（2008•盐城一模）如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_n（n为正整数）满足条件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列

C

0 m

， 

C

1 m

， …， 

C

m m

就是“对称数列”．
（1）设{b_n}是项数为7的“对称数列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差数列，且b₁=2，b₄=11．依次写出{b_n}的每一项；
（2）设{c_n}是项数为2k-1（正整数k＞1）的“对称数列”，其中c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列．记{c_n}各项的和为S_2k-1．当k为何值时，S_2k-1取得最大值？并求出S_2k-1的最大值；
（3）对于确定的正整数m＞1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，2²，…，2^m-1依次是该数列中连续的项；当m＞1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S₂₀₀₈．

Answer 1

分析：（1）设{b_n}的公差为d，依题意，可求得d，从而可得{b_n}的每一项；
（2）利用等差数列的求和公式可求得c_k+c_k+1+…+c_2k-1=-2k²+52k，从而可得S_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k=-4（k-13）²+4×13²-50，从而可得答案；
（3）依题意，可写出所有项数不超过2m的“对称数列”，依次求得每个“对称数列”前2008项的和即可．

解答：解：（1）设{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得 d=3，
∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）∵c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列，
∴c_k+c_k+1+…+c_2k-1=50k+

k(k-1)×(-4)

2

=-2（k²-k）+50k，
∴S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1
=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
=-4（k²-k）+100k-50
=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴当k=13时，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
②1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1．
对于①，当m≥2008时，S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1；
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2009
=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009
=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1．
对于②，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1．
对于③，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3．
对于④，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2．

点评：本题考查数列的求和，突出考查等差数列的求和公式，考查抽象思维与逻辑思维、综合分析与运算能力，属于难题．