Question

已知离心率为

5

2

的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在x轴上，双曲线C的右支上一点A使

AF1

•

AF2

=0且△F₁AF₂的面积为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由已知得：e=

c

a

=

a2+b2

a

=

5

2

，解得a=2b．由

AF1

•

AF2

=0且△F₁AF₂的面积为1，知（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²，由此能求出双曲线C的方程．
（2）△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，

x1+x2=- 8km 4k2-1 x1x2= 4m2+1 4k2-1

，AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a，由以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0），知Rt△PAE即tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

，由此入手能够导出直线过定点（

π

6

，0）．

解答：解：（1）由题意设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由已知得：e=

c

a

=

a2+b2

a

=

5

2

解得a=2b，
∵

AF1

•

AF2

=0且△F₁AF₂的面积为1，
∴|F1A|-|F2A|=2a，S△F1AF2=

1

2

|F1A|•|F2A|=1，|F₁A|²+|F₂A|²=|F₁F₂|²
∴（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²
∴b=1，a=2，
∴双曲线C的保准方程为

x2

4

-y2=1．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂） 联立y=kx+m与双曲线

x2

4

-y²=1
得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0
△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0
即4k²-m²-1＜0
则

x1+x2=- 8km 4k2-1 x1x2= 4m2+4 4k2-1

，
又∴AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0）
∴Rt△PAE即tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

∴AH=

2

2

a
∴

AC1

=(0，-2，2)，且均满足

EG

=(-1，1，h)．
∵AC₁⊥EG，∴

EG

•

AC1

=0．
当

m

=(x，y，z)时，直线

m

⊥

FE

，

m

⊥

EG

的方程为

0×x+1×y+0×z=0 -x+y+z=0.

，
直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当sinθ=

| m • AC1 |

| m |•| AC1 |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

时，
直线θ=

π

6

的方程为θ，直线过定点（

π

6

，0）
∴直线l定点，定点坐标为（

π

6

，0）．

点评：本题考查双曲线的方程的求法和求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．