Question

如图，在边长为6的等边三角形纸片△ABC的边AB，AC上分别取点D，E，使沿直线DE折叠三角形纸片后，定点A正好落在边BC上（设为点P），设∠DAP=θ，BD=y．
（1）试用θ表示y；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）连接DP，通过∠BAP=θ，BD=y，推出AD=PD=6-y，在三角形BDP中，利用正弦定理列出关于y的方程，表示出y．
（2）根据θ的范围，得出120°-2θ的范围，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出y的最小值，即为AD的最小值．

解答：解：连接DP，因为∠DAP=θ，BD=y，可得AD=PD=6-y，则有∠BAP=∠APD=θ，
∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
在△BDP中，

6-y

sin60°

=

y

sin(120°-2θ)

，
解得y=

6sin(120°-2θ)

sin60°+sin(120°-2θ)

，其中0°≤θ≤60°．
（2）因为0°≤θ≤60°，∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴y=6-

3 3

sin60°+sin(120°-2θ)

，∴y≤6-

3 3

3 2 +1

=24-12

3

，
当θ=15°时取“=”，
∴y的最大值为24-12

3

．

点评：此题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．