Question

已知函数f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据x的范围求出2x-

π

3

的范围，再由正弦函数的性质可求出函数f（x）的最大值和最小值．
（2）将问题转化为 f（x）＜m+2对x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立的问题，只要函数f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]的最大值小于m+2即可，然后求出函数f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]的最大值，进而可求得m的范围．

解答：解：（1）

π

4

≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π
当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5

12

π时，f（x）_max=3
当2x-

π

3

=

π

6

，即x=

π

4

时，f（x）_min=2
（2）由条件可知 f（x）＜m+2对x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
又当x∈[

π

4

，

π

2

]时，f（x）_max=3
∴m+2＞3
∴m＞1

点评：本题主要考查正弦函数的最值和恒成立问题．三角函数的公式比较多，基础知识比较散比较多，平时要注意多积累多练习．