Question

设f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意的实数a,b∈［－1,1］,当a+b
≠0时，都有>0.
（1）若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
（2）解不等式f(x－)<f(x－);
（3）如果g(x)=f(x－c)和h(x)=f(x－c²)这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.

Answer 1

解：(1)任取x₁,x₂∈［－1,1］且设x₁<x₂,由奇函数的定义和题设不等式，得
f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=·(x₂－x₁)>0,
∴f(x)在［－1，1］上是增函数.
∵a,b∈［－1,1］且a>b,∴f(a)>f(b)…………………………………4分
(2)∵f(x)是［－1，1］上的增函数
∴不等式f(x－)<f(x－)等价于不等式组

∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}．…………………………………8分
(3)设函数g(x)、h(x)的定义域分别是P和Q，则P={x|－1≤x－c≤1}={x|c－1≤x≤c+1},Q={x|－1≤x－c²≤1}={x|c²－1≤x≤c²+1}，
若P∩Q=，那么c+1<c²－1或c²+1<c－1.
解得c的取值范围是(－∞,－1)∪(2,+∞). ………………………………12分

略