Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=na+n（n-1）b，（n=1，2，…），a、b是常数且b≠0．
（1）证明：以（a_n，-1）为坐标的点P_n（n=1，2，…）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．
（2）设a=1，b=，圆C是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），在（2）的条件下，求使得点P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n=1时，P₁（a₁，a₁-1），可去研究P_n（n≥2）与P₁所在直线的斜率是否相等，若相等，则说明都落在同一条直线上，继而根据点斜式写出此直线的方程．
（2）点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径．由已知列出关于r的不等式组，解不等式即可．
解答：解：（1）证明：∵b≠0，对于n≥2，有
∴所有的点P_n（a_n，-1）（n=1，2，…）都落在通过P₁（a，a-1）且以为斜率的直线上．
  由点斜式，此直线方程为y-（a-1）=（x-a），即x-2y+a-2=0
  （2）解：当a=1，b=时，=a+（n-1）b=
∴P_n的坐标为（n，），使P₁（1，0）、P₂（2，）、P₃（3，1）都落在圆C外的条件是
   ①②③
由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r＜-或r＞+
由不等式③，得r＜4-或r＞4+
再注意到r＞0，1＜-＜4-，+＜4+
故使P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围是（0，1）∪（1，-）∪（4+，+∞）．
点评：本题考查多点共线的判定，直线方程求解、点与圆位置关系、不等式组的解法．要具有分析、解决问题能力，良好的计算能力．