Question

15．已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x²+y²-6y+4=0．
（Ⅰ）当直线l的斜率为$\sqrt{2}$时，求l与圆C相交所得的弦长；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x，圆C圆心为（0，3），半径为$\sqrt{5}$，求出圆心到直线l的距离，即可求l与圆C相交所得的弦长；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求出A的坐标，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x，圆C圆心为（0，3），半径为$\sqrt{5}$，…（3分）
所以，圆心到直线l的距离为$\frac{|3|}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．…（5分）
所以，所求弦长为2$\sqrt{5-3}$=2$\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），因为A为OB的中点，则B（2x₁，2y₁）．…（8分）
又A，B在圆C上，
所以 x₁²+y₁²-6y₁+4=0，4x₁²+4y₁²-12y₁+4=0．…（10分）
解得y₁=1，x₁=±1，…（11分）
即A（1，1）或A（-1，1）．…（12分）
所以，直线l的方程为y=x或y=-x．…（13分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．