Question

已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，(n∈N*)，其导函数记为fn′(x)，且满足f2′[ax1+(1-a)x2]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a、x₁、x₂为常数，x₁≠x₂．设函数g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若m=1，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f₂（x）=x²，∴f₂′（x）=2x，可得2[ax₁+（1-a）x₂]=

x22-x12

x2-x1

，化简即可求实数a的值；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

；分类讨论：①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，最大值为m-5；②当m＜-6时，确定函数的单调性，从而可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f₂（x）=x²，∴f₂′（x）=2x
∴2[ax₁+（1-a）x₂]=

x22-x12

x2-x1

∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3
∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∵m=1，∴g（x）=x²+x-3lnx（x＞0）
∴g′(x)=

(2x+3)(x-1)

x

令g′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1；令g′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴m=1时，函数g（x）的单调减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

∵x∈[0，

1

2

]，∴

3

x2

∈[12，+∞）
∴①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，

1

2

]上递增
∴当x=

1

2

时，k取得最大值，且最大值为m-5；
②当m＜-6时，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

若x∈（0，

- 3 2m

），则k′＞0，k单调递增；
若x∈（

- 3 2m

，

1

2

），则k′＜0，k单调递减；
故当x=

- 3 2m

时，k取得最大值且最大值为1-2

-6m

综上，k_max=

m-5，-6≤m＜0或m＞0 1-2 -6m ，m＜-6

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．