Question

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，…，b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，…，b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

Answer 1

分析：（1）要证数列b₁，b₂，…，b_n成等比数列，只需证

bk+1

bk

为常数即可，所以用数列{a_n}中的项表示{b_n}中项，再求

bk+1

bk

．
（2）先由（1）和a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求数列{b_n}的通项公式，再代入

n

k=1

akbk，再用裂项相消求和即可．

解答：解：（1）由题设易知，b1=

n(a1+an)

2n

=

a1+an

2

，b2=

(a1+a2+…+an-1+an)(n-1)

2(n-1)

=

a1+a2+an-1+an

2

=a1+an．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c₁，c₂，…，c_n-k+1，显然c₁，c₂，…，c_n-k+1成等差数列，则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃，…，c_n-k+c_n-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2(1≤k≤n-1，k∈N*)．
故数列b₁，b₂，…，b_n是公比为2的等比数列．
  （2）由（1）知，bk=b1 • 2k-1=

a1+an

2

 • 2k-1，
故当a_k=2k-1时，b_k=n•2^k-1，a_k•b_k=n（2k-1）•2^k-1（1≤k≤n，k∈N^*）．
于是

n

k=1

akbk=n

n

k=1

(2k-1) • 2k-1．
设

n

k=1

(2k-1) • 2k-1=S，
则S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1①2S=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2⁰+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化简得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故

n

k=1

akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．

点评：本题考查了等比数列的证明，以及裂项相消求和，做题时需认真观察，找出正确方法．