Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EB₁-F的大小．

Answer 1

分析：（I）设AB的中点为G，连接DG，CG，根据三角形中位线性质，结合已知中E是C₁C的中点，可得CEDG是平行四边形，进而DE∥GC，则线面平行的判定定理可得，DE∥平面ABC；
（Ⅱ）由已知中ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，F是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”可得AF⊥BC，由直三棱柱性质可得，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，结合面面垂直的性质可得AF⊥B₁F，又由勾股定理，可得B₁F⊥EF结合线面垂直的判定定理，即可得到B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=AA₁=2，则可求出各顶点坐标，进而求出平面AEB₁与平面EB₁F的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）设AB的中点为G，连接DG，CG
∵D是A₁B的中点
∴DG∥A₁A且DG=

1

2

A1A
∵E是C₁C的中点
∴CE∥A₁A且CE=

1

2

A1A
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形
∴DE∥GC
∵DE?平面ABC，GC?平面ABC
∴DE∥平面ABC（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥B₁F（6分）
设AB=AA₁=2
则在B₁FE中，B1F=

6

，
则EF=

3

，B₁E=3
∴B₁E²=B₁F²+EF²=9
∴△B₁FE是直角三角形，
∴B₁F⊥EF（8分）
∵AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF（9分）
解：（Ⅲ）分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AA₁=2，则设A（0，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）
∵AF⊥平面BCC₁B₁
∴面B₁FE的法向量为

AF

=（1，1，0），（10分）
设平面AB₁E的法向量为

n

=(x，y，z)
∵

AE

=(0，2，1)，

AD

=(1，0，1)
∴

AE

•

n

=0，

AD

•

n

=0
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨设z=-2，可得

n

=(2，1，-2)（12分）
∴cos＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n || AF |

=

3

3 2

=

2

2

（13分）
∵二面角A-EB₁-F是锐角
∴二面角A-EB₁-F的大小45°（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，（I）的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，（II）的关键是在平面找到两条件与已知直线均垂直的相交直线，（III）的关键是建立空间坐标系，将空间二面角问题转化为向量夹角问题．