Question

为了测定不能到达底部的铁塔的高PO，可以有哪些方法？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：综合题,解三角形

分析：方法一：在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长，用经纬仪测出角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO的高；
方法二：在地面上引一条基线AB，这一基线与塔底在同一水平面上，且AB延长后不过点 O．测出 AB的长、张角∠AOB（设为θ）及A，B对塔顶P的仰角 α，β，则可求出铁塔PO的高；
方法三：在地面上引一条基线AB，这一基线与塔底在同一水平面上，并使A，B，O三点在一条直线上，测出AB的长和A，B对塔顶P的仰角 α，β，则可求出铁塔PO的高．

解答： 解：方法一：在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长，用经纬仪测出角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO的高．
计算方法如下：
如图所示，在△ABO中，由正弦定理得AO=

ABsinγ

sin(β+γ)

，
在Rt△PAO中，PO=AO•tan α，
∴PO=

ABsinγtanα

sin(β+γ)

．
方法二：在地面上引一条基线AB，这一基线与塔底在同一水平面上，且AB延长后不过点O．测出AB的长、张角∠AOB（设为θ）及A，B对塔顶P的仰角α，β，则可求出铁塔PO的高，
计算方法如下：
如图所示，在Rt△POA中，AO=PO•cot α，

在Rt△POB 中，BO=PO•cotβ，
在△AOB中，由余弦定理得OA²+OB²-2 OA•OB•cosθ=AB²，
∴PO=

AB

cot2α+cot2β-2cotαcotβcosθ

．
方法三：在地面上引一条基线AB，这一基线与塔底在同一水平面上，并使A，B，O三点在一条直线上，测出AB的长和A，B对塔顶P的仰角α，β，则可求出铁塔PO的高．
计算方法如下：如图所示，

在△PAB中，由正弦定理得PA=

AB

sin(α-β)

•sinβ，
在Rt△PAO中，PO=PA•sinα=

ABsinαsinβ

sin(α-β)

．

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．