Question

等比数列{a_n}的公比为q，其前n项的积为T_n，并且满足条件a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．给出下列结论：
①0＜q＜1；
②a₉₉•a₁₀₁-1＜0；
③T₁₀₀的值是T_n中最大的；
④使T_n＞1成立的最大自然数n等于198．
其中正确的结论是（　　）

A．①②④

B．②④

C．①②

D．①②③④

Answer 1

分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．
利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．

解答：解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，∴（a₁•q⁹⁸）²＞1．
∵a₁＞1，∴q＞0．
又∵

a99-1

a100-1

＜0，∴a₉₉＞1，且a₁₀₀＜1．∴0＜q＜1，即①正确．
∵

a99•a101=a100 2 0＜a100＜1

，∴0＜a₉₉•a₁₀₁ ＜1，即 a₉₉•a₁₀₁-1＜0，故②正确．

由于 T₁₀₀=T₉₉•a₁₀₀，而 0＜a₁₀₀＜1，故有 T₁₀₀＜T₉₉，∴③错误．

④中T₁₉₈=a₁•a₂…a₁₉₈=（a₁•a₁₉₈）（a₂•a₁₉₇）…（a₉₉•a₁₀₀）=(a99•a100)99＞1，

T₁₉₉=a₁•a₂…a₁₉₉=（a₁•a₁₉₉）（a₂•a₁₉₈）…（a₉₉•a₁₀₁）a₁₀₀＜1，∴④正确．
∴正确的为①②④，
故选A．

点评：本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有a_m•a_n=a_p•a_q．其中根据已知条件得到aa₉₉＞1，a₁₀₀＜1，是解答本题的关键，属于基础题．