Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若定义域内存在x₀，使得不等式f（x₀）-m≤0成立，求实数m的最小值；
（2）g（x）=f（x）-x²-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．

Answer 1

分析：（1）存在x₀，使m≥f（x₀）_min，故f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

，由此导出f（x₀）_min=f（0）=1，从而能够求出实数m的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-x²-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，知x+1-2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1-2ln（1+x），h′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，由此利用函数的单调性能够求出a的取值范围．

解答：解：（1）存在x₀，使m≥f（x₀）_min，
∵f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
∴f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=

2x(x+2)

1+x

，x＞-1．
令f′（x）＞0，得x＞0，
令f′（x）＜0，得x＜0，
∴y=f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x₀）_min=f（0）=1，
∴m≥1，
∴实数m的最小值是1．
（2）∵g（x）=f（x）-x²-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，
∴g（x）=x+1-a-2ln（1+x）在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，
∴x+1-2ln（1+x）=a有两个交点，
令h（x）=x+1-2ln（1+x），
h′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，
由h′（x）＞0，得x＞1，
由h′（x）＜0，得x＜1，
∴y=f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
∵h（0）=1-2ln1=1，
h（1）=2-2ln2，
h（3）=4-2ln4，
∴2-2ln2＜a≤1．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．