Question

10．己知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．BC=4，BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，则球O的表面积为（　　）

• A． 11π
• B． 20π
• C． 23π
• D． 35π

Answer 1

分析 先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则
∵该三棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．BC=4，BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴h=2，
∴O到平面BCD的距离为1，
∵△BCD外接圆的直径BD=$\sqrt{19}$，
∴OB=$\sqrt{1+\frac{19}{4}}$=$\frac{\sqrt{23}}{2}$，
∴球O的表面积为4π×$\frac{23}{4}$=23π．
故选：C．

点评 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，是中档题，确定球的半径是正确解题的关键．