Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=2，a₃=18，其前 n项和为S_n；{b_n}是等差数列，b₁=2，其前n项和为T_n，若S₃=T₄．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，试比较P₁₉与Q₁₉的大小．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公比是q，{b_n}的公差为d，根据题意建立关于q、d的方程并解出q=d=3，结合等差数列的通项公式，即可得到数列{b_n}的通项公式；
（2）由等差数列的性质，可得b₁、b₄、b₇、…、b_3n-2组成以新的等差数列，结合等差数列求和公式算出P_n=

1

2

（9n²-5n），可得P₁₉=1577；同理可以算出Q_n=3n²+26n，从而Q₁₉=1577，得到P₁₉与Q₁₉的大小关系是相等．

解答：解：（1）设{a_n}的公比是q，{b_n}的公差为d
由

a1=2 a3=18 an＞0

，可得

a1=2 q =3

，得a_n=2•3^n-1        （2分）
由S₃=T₄，可得

2(1-33)

1-3

=2n+

n(n-1)

2

d，得公差d=3       （4分）
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1；                     （6分）
（2）∵{b_n}是等差数列，公差为d
∴b₁、b₄、b₇、…、b_3n-2，…组成以3d为公差的等差数列
∴P_n=

n(2+9n-7)

2

=

1

2

（9n²-5n），取n=19得P₁₉=1577            （9分）
同理可得Q_n=

n(29+6n+23)

2

=3n²+26n，取n=19得Q₁₉=1577       （12分）
∴P₁₉=Q₁₉．

点评：本题给出等差数列和等比数列满足的条件，求它们的通项公式，并比较两个前n项和的大小．着重考查了等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式等知识，属于中档题．