精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
3.已知数列{an}满足an+1=$\frac{{a}_{n}}{{2}_{{a}_{n}+1}}$,a1=1(n∈N+
(1)试猜想{an}的通项公式并用数学归纳法证明;
(2)令bn=anan+1,记数列{bn}的前n项和为Sn,求证:$\frac{1}{3}$≤Sn<$\frac{1}{2}$.

分析 (1)通过an+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$、a1=1可知a2、a3、a4,进而猜想:an=$\frac{1}{2n-1}$,利用数学归纳法证明即可;
(2)通过an=$\frac{1}{2n-1}$,裂项可知bn=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),累加即得结论.

解答 证明:(1)∵an+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$,a1=1,
∴a2=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$,
a3=$\frac{{a}_{2}}{1+2{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1+2•\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{5}$,
a4=$\frac{{a}_{3}}{1+2{a}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{5}}{1+2•\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{7}$,
猜想:an=$\frac{1}{2n-1}$.
下面用数学归纳法来证明:
①当n=1时,显然成立;
②假设当n=k(k≥1)时命题成立,即ak=$\frac{1}{2k-1}$,
则ak+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+2•\frac{1}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2(k+1)-1}$,
即当n=k+1时命题也成立;
∴an=$\frac{1}{2n-1}$对于任意正整数n都成立;
(2)∵an=$\frac{1}{2n-1}$,
∴bn=anan+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
∴Sn=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)<$\frac{1}{2}$,
又∵Sn>Sn-1>…>S1=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{1}{3}$≤Sn<$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.设函数f(x)=cos(2x-$\frac{π}{3}$)+1-2cos2x.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=-$\frac{1}{2}$,b+c=2,求a的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.如图所示的一个算法,其作用是输入x的值,输出相应y的值,若要使输出的y的值为正数,求输入的x值的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.下列命题中:
①命题“若x2-3x+2=0,则x=2或x=1”的否命题为“若x2-3x+2≠0,则x≠2或x≠1”
②命题p:?x>1,x2-1>0,则¬p:?x>1,x2-1≤0
③对命题p和q,“p且q为假”是“p或q”为假的必要不充分条件.
真命题的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.二项式${(x-\frac{2}{x})}^{6}$的展开式中各项系数和是(  )
A.1B.0C.-1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

8.已知Rt△ABC的周长为12,其三边长a,b,c(a<b<c)依次成等差数列,绕其最短边旋转一周形成一个几何体.
(1)求a,b,c.
(2)求该几何体的表面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.如图,对于所给的算法中,若执行循环体的次数为1000,则原程序语言中实数a的取值范围是1000≤a<1001.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.如图为同样规格的黑、白两色正方体瓷砖铺设的图案,则按此规律第5个图案中需用黑色瓷砖的块数为(  )
A.22B.24C.26D.28

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知函数f(x)=-3x2+a(5-a)x+b,a,b∈R.
(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值;
(2)若b为常数,解关于a的不等式f(1)<0.

查看答案和解析>>

同步练习册答案