Question

3．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{2}_{{a}_{n}+1}}$，a₁=1（n∈N₊）
（1）试猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）令b_n=a_na_n+1，记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$、a₁=1可知a₂、a₃、a₄，进而猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$，利用数学归纳法证明即可；
（2）通过a_n=$\frac{1}{2n-1}$，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），累加即得结论．

解答 证明：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，a₁=1，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+2{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1+2•\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{5}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+2{a}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{5}}{1+2•\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{7}$，
猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时命题成立，即a_k=$\frac{1}{2k-1}$，
则a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+2•\frac{1}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，
即当n=k+1时命题也成立；
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$对于任意正整数n都成立；
（2）∵a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
又∵S_n＞S_n-1＞…＞S₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．