Question

设a，b是方程x²+x•cotθ-cosθ=0的两个不等的实数根，那么过点A（a，a²）和B（b，b²）的直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．随θ的变化而变化

Answer 1

【答案】分析：由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b和ab，求出AB的斜率写出直线AB的方程，由直线AB与坐标轴的交点都在椭圆内可知直线与椭圆相交
解答：解：由题意可得，a+b=-cotθ，ab=-cosθ，且cot²θ+4cosθ＞0
又A（a，a²）、B（b，b²），
得到直线AB的斜率k=a+b，
所以直线l_AB：y-b²=（b+a）（x-b）即y=（b+a）x-ab
∴cotθ x+y-cosθ=0
令x=0，y=cosθ，与y轴交点（0，cosθ）在椭圆内
令y=0，x=-sinθ，与y轴交点（0，sinθ）在椭圆内
直线AB与椭圆x²+=1的位置关系是相交
故选C
点评：此题考查学生灵活运用韦达定理，由两点确定直线的斜率、直线方程，注意本题的解法可以简化基本运算