Question

【题目】在三棱锥P﹣ABC中．侧梭长均为4．底边AC=4．AB=2，BC=2 ，D．E分别为PC．BC的中点． 〔I）求证：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4， 取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，
，
∵ ，∴AC2=AB2+BC2 ， ∴△ABC为Rt△．
∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2 ， ∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB面ABC，∴OP⊥平面ABC，
又∵OP平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）
（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP= ．
直角三角形ABC的面积S= ．
∴VP﹣ABC= = ．
（Ⅲ）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，
连接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH平面ABC，
∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂线定理），
∴∠EMH即为所求的二面角的平面角．
∵E，D分别为中点，EH⊥AC，
∴在RT△HEC中： ， ，
∴
在RT△HMA中， ．
在RT△HME中， ．
∴ ．

【解析】（I）利用等腰三角形的性质即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP= ，直角三角形ABC的面积S= ，再利用 即可得出．（III）过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，连接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂线定理），可得∠EMH即为所求的二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系求出即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．