Question

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB中点，CD=2，AB=4，AD=BC=

2

．沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如图．
（Ⅰ）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求二面角C-AB-F的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知AF=BF，∠AFB=60°，G为FB的中点，可得AG⊥FB①再由E、F分别是CD、AB的中点，可得EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，进而可得AG⊥EF②，结合①②根据直线与平面垂直的判定定理可证AG⊥平面BCEF
（II）（法一：三垂线法）利用梯形的知识可得CG∥EF，由已知易证EF⊥面ABF，从而可得CG⊥面ABF，考虑利用三垂线法，过点G作GH⊥AB于H，连接CH，据三垂线定理可得∠CHG为二面角C-AB-F的平面角．在Rt△BHG中求解∠CHG
（法二：空间向量法）结合题中的条件，可考虑分别以FB、FE为x、y、轴，以过F且垂直于面FBCE的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，借助于坐标系找出平面ABCD的一个法向量

n1

，平面ABF的一个法向量

n2

，代入公式cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

可求

解答：解：（Ⅰ）因为AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形．
又G为FB的中点，所以AG⊥FB．（2分）
在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，
所以EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，
所以AG⊥EF．（4分）
又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF．（5分）

（Ⅱ）解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，
CD=2，AB=4，E、F分别是CD、AB中点，
所以EC=FG=BG=1，从而CG∥EF．
因为EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF．（7分）
过点G作GH⊥AB于H，连接CH，据三垂线定理有CH⊥AB，
所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角．（9分）
因为Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=

3

2

．（10分）
在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=

2

，所以CG=1．（11分）
在Rt△CGH中，tan∠CHG=

CG

GH

=

2 3

3

，故二面角C-AB-F的正切值为

2 3

3

．（12分）
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，
点B（2，0，0），A（1，0，

3

），C（1，1，0）．（7分）
因为EF⊥平面ABF，所以

n1

=（0，1，0）为
平面ABF的一个法向量．（8分）
设

n2

=（x，y，z）为平面ABCD的法向量，
因为

AB

=(1，0，-

3

)，

CB

=(1，-1，0)，
由

n2

⊥

AB

，

n2

⊥

CB

，得

n2 • AB =0 n2 • CB =0

，即

x- 3 z=0 x-y=0

．
令x=

3

，则y=

3

，z=1，所以

n2

=（

3

，

3

，1）．（10分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

．（11分）
从而tan＜

n1

，

n2

＞=

2 3

3

，故二面角C-AB-F的正切值为

2 3

3

．（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系中的垂直关系：线面垂直的判定的运用、二面角的度量：二面角的平面角的作法①三垂线法，②利用空间向量转化为求两向量的夹角，要求考生具备一定的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．