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已知Sn是正项数列{an}的前n项和,且
Sn
1
4
与(an+1)2的等比中项.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=
an
2n
,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)若bn
1
4
m2-m-
1
2
对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
(1)当 n≥2时,Sn=
1
4
(an+1)2
,Sn-1=
1
4
(an-1+1)2

两式相减,整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,由于数列{an}是正项数列,∴an-an-1=2,又a1=1,所以数列{an}是首项a1=1,d=2的等差数列,an=2n-1;
(2)bn=
an
2n
=
2n-1
2n
Tn=
1
2
+
3
22
++
2n-1
2n
1
2
Tn=
1
22
+
3
23
++
2n-1
2n+1

相减化简得Tn=3-
2n+3
2n

(3)∵bn+1-bn=
3-2n
2n+1

当n=1,b2>b1,当n≥2,bn+1<bn,故当n=2时,b2取到最大值
3
4

bn
1
4
m2-m-
1
2
对一切正整数n恒成立,即
3
4
1
4
m2-m-
1
2

解得m≤-1或m≥5
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是正项数列an的前n项和,且an+
1
an
=2Sn
,那么an的通项公式为(  )
A、an=
n
+
n-1
B、an=
n+1
-
n
C、an=
n
-
n-1
D、an=
n+1
+
n

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是正项数列{an}的前n项和,且
Sn
1
4
与(an+1)2的等比中项.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=
an
2n
,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)若bn
1
4
m2-m-
1
2
对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是正项数列{an}的前n项和,且an+
1
an
=2Sn
,那么S10等于(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是正项数列{an}的前n项和,且Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-
3
4

(1)求数列{an}的通项公式;     
(2)若an=2nbn,求数列{bn}的前n项和;
(3)数列{kn}满足kn+1=3kn-1,k1=1,当n≥2时证明:
a1
2k2-2
+
a2
2k3-2
+
a3
2k4-2
+…+
an-1
2kn-2
8
3

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科目:高中数学 来源:2008-2009学年福建省泉州市南安一中高二(上)年期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知Sn是正项数列{an}的前n项和,且与(an+1)2的等比中项.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)若对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.

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