Question

【题目】已知函数f（x）＝|2x+1|﹣2|x﹣m|，m∈N，且f（x）＜3恒成立.

（1）求m的值；

（2）当，时，f（a）+f（b）＝﹣2，证明：.

Answer 1

【答案】（1）m＝0（2）证明见解析

【解析】

（1）利用绝对值不等式的性质，得到|2x+1|﹣|2x﹣2m|≤|2m+1|，结合m∈N即得解.

（2）将f(x)用分段函数表示，结合a,b的范围，分析函数单调性求得最小值，可分析得到a＝b，可得解.

（1）f（x）＝|2x+1|﹣2|x﹣m|＝|2x+1|﹣|2x﹣2m|

≤|(2x+1)-(2x﹣2m)|＝|2m+1|，

∵m∈N且f（x）＜3恒成立，

∴m＝0.

（2）由（1）知，f（x）＝|2x+1|﹣|2x|.

∴当x∈时，f（x）单调递增，.

∵，时，∴当且仅当f（a）＝f（b）＝﹣1，

即a＝b时，f（a）+f（b）＝﹣2成立，

∴.