Question

某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为：P（ξ=i）=

1

12

（i=1，2，…，12）；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元．如销售不出，则每台每月需花保管费100元．问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？

Answer 1

分析：根据题意设出变量，设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1≤x≤12的情况．设电器商每月的收益为y，列出关于x与y之间的关系式，写出电器商每月获益的数学期望，整理出最简结果，根据二次函数的性质，求出结论．

解答：解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1≤x≤12的情况．
设电器商每月的收益为y
则y是随机变量ξ的函数，且y=

300x                    (ξ≥x) 300ξ-100(x-ξ)  (ξ＜x).

于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望
Ey=300x（P_x+P_x+1+…+P₁₂）+[300-100（x-1）]P₁+[2×300-100（x-2）]P₂+…+[（x-1）×300-100]P_x-1
=300x(12-x+1)•

1

12

+

1

12

[300•

x(x-1)

2

-100•

(x-1)x

2

]=

25

3

(-2x2+38x)．
∵x∈N^*，
∴当x=9或x=10时，数学期望最大．

点评：本题考查离散型随机变量的期望，考查二次函数的性质，是一个综合题目，这种题目是概率同函数结合的问题，一般比较困难，解题时注意自变量的取值范围．