Question

（2011•南京模拟）A．选修4-1几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED²=EB•EC．
B．矩阵与变换
已知矩阵A=

2 -1 -4 3

，

4 -1 -3 1

，求满足AX=B的二阶矩阵X．
C．选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+

π

3

），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4-5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

Answer 1

分析：A、由切割线定理可得 EA²=EB•EC，证明∠EAD=∠EDA，△EAD为等腰三角形，得EA=ED，从而ED²=EB•EC 成立．
B、设 X=

a b c d

，求出AX，再由AX=B，解方程组求得a、b、c、d的值，接口求得X．
C、把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，她们都表示圆，求出它们的圆心和半径，由弦长公式求出弦长AB的值．
D、利用基本不等式证明要证的不等式，注意检验等号成立的条件．

解答：解：A 由切割线定理可得 EA²=EB•EC．
再由同弧所对的圆周角等于该弧所对的弦切角可得∠ABC=∠CAE．
又AD是∠BAC的平分线，故有∠BAD=∠CAD．
再由∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠BAD+∠ABC 可得∠EAD=∠EDA．
故△EAD为等腰三角形，故有EA=ED，
∴ED²=EB•EC．
B 设 X=

a b c d

，则AX=

2 -1 -4 3

a b c d

]=

2a-c 2b-d -4a+3c -4b+3d

．
又AX=B=[

4 -1 -3 1

]，∴

2a-c=4 2b-d=-1 -4a+3c=-3 -4b+3d=1

，解得

a= 9 2 b=-1 c=5 d=-1

，
故X=

4.5 -1 5 -1

．
C 曲线ρ=1与  即 x²+y²=1，表示以O（0，0）为圆心，以1为半径的圆．
曲线ρ=2cos（θ+

π

3

），即 ρ²=2ρ（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ ），即(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1，
表示以A（

1

2

，-

3

2

）为圆心，以1为半径的圆．
把两圆的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为 x-

3

y-1=0，
O到弦的距离等于

|0-0-1|

1+3

=

1

2

，由弦长公式求得线段AB的长为2

1- 1 4

=

3

．
D 证明：因为a，b，c为正实数，所以a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，当且仅当a=b=c时，等号成立．
又3abc+

1

abc

≥2

3

，当且仅当 3abc=

1

abc

时，等号成立．
所以，a³+b³+c³+

1

abc

≥2 

3

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，与圆有关的比例线段，矩阵运算以及极坐标化为直角坐标的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．