Question

已知函数f（x）=e^sinx-ksinx．
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+f（-x）-m在x∈[

π

4

，

3π

4

]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^sinx-esinx，求导函数，令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（x）是周期为2π的周期函数，所以只需要考虑对任意x∈[0，2π]，f（x）＞0恒成立，求导函数，分类讨论求函数的最小值，建立不等式，即可求得确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）求导函数，求得函数在x∈[

π

4

，

3π

4

]上的单调性，根据函数g（x）在x∈[

π

4

，

3π

4

]上有两个零点，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^sinx-esinx，则f'（x）=（e^sinx-e）cosx．     …（1分）
又e^sinx-e≤0，故x∈(2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

)，k∈Z时，cosx＜0，f'（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间是(2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

)，k∈Z，注：闭区间也正确…（3分）
（Ⅱ）由f（x）是周期为2π的周期函数．
所以只需要考虑对任意x∈[0，2π]，f（x）＞0恒成立，
由f'（x）=（e^sinx-k）cosx
①当k∈[e，+∞）时，类似于第1问，f(x)min=f(

π

2

)=e-k≤0，不符合题意…（4分）
②当k∈(-∞，-

1

e

]时，有f(x)min=f(

3π

2

)=

1

e

+k≤0，不符合题意 …（5分）
③k∈(-

1

e

，

1

e

]时，也有f(x)min=f(

3π

2

)=

1

e

+k＞0，符合题意     …（6分）
④当k∈(

1

e

，e)时，令f'（x）=（e^sinx-k）cosx=0得sinx=lnk或cosx=0
则f（x）=k（1-lnk），e-k，e^-1+k在k∈(

1

e

，e)时均大于0，所以f（x）＞0恒成立
综上得，实数k的取值范围是-

1

e

＜k＜e．                       …（8分）
（Ⅲ）g（x）=e^sinx+e^-sinx-m，g'（x）=cosx（e^sinx-e^-sinx）
在x∈[

π

4

，

3π

4

]上，sinx＞0，e^sinx＞1＞e^-sinx，
所以g（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上为增函数，在x∈[

π

2

，

3π

4

]上为减函数，且g(

π

4

)=g(

3π

4

)…（10分）
所以当m∈[e

2

2

+e-

2

2

，e+e-1)时，函数g（x）在x∈[

π

4

，

3π

4

]上有两个零点…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点，综合性强．