Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，

2

)且斜率为k的直线l与椭圆

x2

2

+y2=1有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．
（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．

解答：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y=kx+

2

，
代入椭圆方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，
解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．即k的取值范围为(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x1+x2=-

4 2 k

1+2k2

． ②
又y1+y2=k(x1+x2)+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B(0，1)，

AB

=(-

2

，1)．
所以

OP

+

OQ

与

AB

共线等价于x1+x2=-

2

(y1+y2)，
将②③代入上式，解得k=

2

2

．
由（Ⅰ）知k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故没有符合题意的常数k．

点评：本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．