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已知函数f(x)定义域为R且同时满足:①f(x)图象左移1个单位后所得函数为偶函数;②对于任意大于1的不等实数a,b,总有成立.
(1)f(x)的图象是否有对称轴?如果有,写出对称轴方程.并说明在区间(-∞,1)上f(x)的单调性;
(2)设,如果f(0)=1,判断g(x)=0是否有负实根并说明理由;
(3)如果x1>0,x2<0且x1+x2+2<0,比较f(-x1)与f(-x2)的大小并简述理由.
【答案】分析:(1)由条件(1)得f(x)的图象关于直线x=1对称,有条件(2)可得f(x)在(1,+∞)上单调递增,从而可判断f(x)在(-∞,1)上单调性;
(2)若g(x)=0有负根x,由 g(x)=+=0可求得f(x)=x-2,再借助f(x)在(-∞,1)上单调递减,可得出矛盾;
(3)点(-x1,f(-x1))与点(2+x1,f(2+x1))为f(x)上关于直线x=1对称的两点,结合x1+x2+2<0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,即可比较f(-x1)与f(-x2)的大小.
解答:(1)解:由条件(1)得f(x)的图象关于直线x=1对称…(2分)
有条件(2)得a>b>1时,f(a)>f(b)恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增…(4分)
又∵f(x)的图象关于直线 x=1对称,
∴f(x)在(-∞,1)上单调递减…(5分)
(2)若g(x)=0有负根x,则  g(x)=+=0,
∴f(x)=x-2.
∵f(0)=1,f(x)在(-∞,1)上单调递减,
∴f(x)>1,
∴x-2>1,即x>3与x<0矛盾,故g(x)=0无负实根…(10分)
(3)解:点(-x1,f(-x1))与点(2+x1,f(2+x1))为f(x)上关于直线x=1对称的两点,
∵x1+x2+2<0,
∴2<x1+2<-x2,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(-x2)>f(2+x1)=f(-x1)…(16分)
点评:本题考查函数的图象,着重考查函数的单调性与对称性,难点在于(3)的分析与转化,比较抽象,属于难题.
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已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且当x<0时,f(x)>0.
(Ⅰ)验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件;
(Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明.

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(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x)-f(
1x-1
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4018
4018

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已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f(
1
2
)=-1,且当x,y∈(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),又数列{an}满足:a1=
1
2
,an+1=
2an
1+
a
2
n

(I)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;
(II)求f(an)关于n的函数解析式;
(III)令g(n)=f(an)且数列{an}满足bn=
1
g(n)
,若对于任意n∈N+,都有b1+b2+…+bnt2-3t恒成立,求实数t的取值范围.

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已知函数f(x)定义在R上,对任意的x∈R,f(x+1001)=
2
f(x)
+1
,已知f(11)=1,则f(2013)=
 

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