Question

已知函数f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，给出下列三个命题：
①函数f（x）为偶函数；
②存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为原点的三角形是等腰直角三角形；
③存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为原点的四边形为菱形．
其中所有真命题的个数是（　　）

• A、无内容
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：①由偶函数的定义进行判断．
②由解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；
③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．

解答：解：①若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（x）=f（-x）=1，
若x为无理数，则-x也为无理数，∴f（x）=f（-x）=0，
综上有f（x）=f（-x），∴函数f（x）为偶函数，∴①正确．
②根据f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

，可知：
假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，
不妨假设A，B在x轴上，如图
故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在．
另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，
故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，②错误；
③根据②做出的图形知，
取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，
即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，
可以做出以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，③正确．
故选：C．

点评：本题主要考查分段函数的应用，考查学生的 推理和想象能力，综合性较强，难度较大．