Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．

（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；

（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数. 。若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）a的范围是 .

【解析】试题分析：（1）由题意得 f（x）=x2+lnx， ，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．

（2）由题意得：令 f（x） f2（x）= ，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=对x∈（1，+∞）恒成立， 分类讨论当 或 时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=，

h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．

试题解析：

（1）当 时，，；

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，

∴，．

（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令 ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，

∵

若 ，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，

当x2＞x1=1，即 时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；

当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；

若 ，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 ，

所以 ≤a≤．

又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤

综合可知a的范围是[，]．