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设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,一条渐近线的倾斜角为60°.
(I)求双曲线C的方程和离心率;
(Ⅱ)若点P在双曲线C的右支上,且△PF1F2的周长为16,求点P的坐标.
(Ⅰ)由题意得,
2c=4
b
a
=tan60°
a2+b2=c2
,解得
a=1
b=
3
c=2

所以双曲线C的方程为x2-
y2
3
=1
,离心率为2;
(Ⅱ)由△PF1F2的周长为16,得|PF1|+|PF2|=12①,
又点P在右支上,所以|PF1|-|PF2|=2②,
联立①②解得|PF1|=7,
设P(x0,y0),则
(x0+2)2+(y0)2
=7③,x02-
y02
3
=1
④,
联立③④解得
x0=3
y0=±2
6
x0=-4
y0=±3
5
(舍),
点P坐标为(3,,2
6
)或(3,-2
6
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-1,0),离心率为
2
2
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C:x2+3y2=3b2(b>0).
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=
3
,求△AOB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

直线l:x-y=0与椭圆
x2
2
+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求y1y2的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2.证明:
k1
k2
为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A、B分别是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上、下两顶点,P是双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1
上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D点,如果D恰是PB的中点.
(1)求证:无论常数a、b如何,直线CD的斜率恒为定值;
(2)求双曲线的离心率,使CD通过椭圆的上焦点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
内,有一内接三角形ABC,它的一边BC与长轴重合,点A在椭圆上运动,则△ABC的重心的轨迹方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A、B两点,且
OA
OB
=0
(O为坐标原点),直线l与圆O相切,切点在劣弧AB(含A、B两点)上,且与抛物线C相交于M、N两点,d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求d的最大值,并求d取得最大值时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为C
 .             .            .           .

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