Question

（2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a＞0）．
（1）若函数f（x）有三个零点分别为x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于

3

，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数零点的概念，x₁，x₂，x₃，即为f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx=0的三个实数根，则x₃=0，结合韦达定理得出-

3b

2a

=-3，

3c

a

=-9，由此f′（x）=a（x-1）（x+3），单调区间可求．
（2）由条件得出f′（1）=a+b+c=-

1

2

a＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符号，利用f′（x）在（0，2）内由零点（需对c的取值进行讨论）进行证明．
（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax²+bx+c=0的两个零点．可得出|m-n|，关于

b

a

的不等式，并结合约束条件2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b得出取值范围．

解答：（1）因为函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx=x（

1

3

ax2+

1

2

bx+c）（a＞0），又x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，则x₃=0，x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9（1分）
因为x₁，x₂是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，
则-

3b

2a

=-3，

3c

a

=-9，得

b

a

=2，

c

a

=-3，（3分）
所以f′(x)=ax2+bx+c=a(x2+

b

a

x+

c

a

)=a（x²+2x-3）=a（x-1）（x+3）．
令 f′（x）=0 解得：x=1，x=-3
故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）． （5分）
（2）因为 f′（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，，所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）
于是f′(1)=-

1

2

a＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）
①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，f′(1)=-

1

2

a＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，
f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m； （9分）
②当c≤0时，因为f′(1)=-

1

2

a＜0，f′（2）=a-c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．
综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点． （10分）
（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax²+bx+c=0的两个零点，由（2）得
3a+2b+2c=0，则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

- 

b

a

．所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4( - 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

  
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，则两边平方(

b

a

+2)2+2≥3，得出

b

a

+2≥1，或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1，或

b

a

≤-3
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-

3

4

a．
因为a＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
综上分析，

b

a

的取值范围是[-1，-

3

4

）．

点评：本题是函数与不等式的综合．考查函数零点的知识，导数在研究函数性质的应用，不等式的性质．需具有分析解决、代换转化，推理计算能力．