Question

设函数．
（1）当k=1时，判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（2）当k=0时，求证：f（x）＞0对一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k为常数，求证：f（x）的极小值是一个与a无关的常数．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为x＞0
当k=1时，f（x）=
∵=
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数
（2）当k=0时，

令
当

∴
∵e＞2
∴
∴f（x）＞0恒成立
（3）∵
∴
令
解得（舍去）
∴
，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数
时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数
因此，当x=f（x）有极小值
令
∵而是与a无关的常数
∴均与a无关．
∴f（x₀）是与a无关的常数．
则f（x）的极小值是一个与a无关的常数．
分析：（1）求出函数的导函数，判断出导函数小于等于0，判断出函数单调性．
（2）求出导函数，令导函数为0，求出根，判断出根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值的符号得证．
（3）求出导函数，令导函数为0，求出根，判断根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值是与a无关的常数．
点评：求函数的极小值时，令导函数为0求出根，但一定注意判断根左右两边的符号是否异号．