(1)试问a10是数列{bn}的第几项?
(2)是否存在正整数m,使Sm=2 008?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(3)若am是数列{bn}的第f(m)项,试比较Sf(m)与2Tm的大小,并说明理由.
解:(1)∵在数列{bn}中,对每一个k∈N,在ak与ak+1之间有2k-1个2,
∴a10在数列{bn}中的项数为10+1+2+4+…+28==521,
即a10是数列{bn}中第521项.
(2)an=1+(n-1)·2=2n-1,
在数列{bn}中,am及其前面所有项的和为[1+3+5+…+(2m-1)]+(2+4+…+2m-1)
=m2+=2m+m2-2,
∵210+10-2=1 122<2 008<211+11-2,且2 008-1 122=886=443×2,
∴存在m=521+443=964,使得Sm=2 008.
(3)方法一:由(2)知Sf(m)=2m+m2-2,
又Tm=1+3+5+…+(2m-1)=m2,
所以Sf(m)-2Tm=(2m+m2-2)-2m2=2m-(m2+2),
要比较Sf(m)与2Tm的大小,只需比较2m与m2+2的大小即可.
当m=1时,2m=2,m2+2=3,故2m<m2+2;
当m=2时,2m=4,m2+2=6,故2m<m2+2;
当m=3时,2m=8,m2+2=11,故2m<m2+2;
当m=4时,2m=16,m2+2=18,故2m<m2+2;
当m≥5时,2m=(1+1)m=1+C1m+C2m+…+++1
≥1+m+++m+1=m2+m+2>m2+2.
故当m=1,2,3,4时,Sf(m)<2Tm;
当m≥5且m∈N时,Sf(m)>2Tm.
方法二:以上同方法一,
当m≥5时,∵m-2≥3,
∴2m=(1+1)m=1++++…+1
≥1+m+++1
≥1+m+++1=m2+2.
故当m=1,2,3,4时,Sf(m)<2Tm;
当m≥5且m∈N时,Sf(m)>2Tm.
(另法提示:令cm=2m-(m2+2),dm=cm+1-cm=2m-(2m+1),由dm+1-dm=2m-2≥0,可知dm+1≥dm,又d3>0,故对任意的m≥3,dm>0,从而数列{cm}从第3项起往后是递增的,又c5=5>0,故当m≥5时,cm>0,即Sf(m)>2Tm).
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S2 |
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Sn |
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b1b2 |
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b2b3 |
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bnbn+1 |
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1 | bn(2an+3) |
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