Question

如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．

（1）若某4阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；

（2）若某11阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（3）若为n阶“归化数列”，求证：．

 

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）等比数列是4阶“归化数列”，则有，这样，于是，从而，，以后各项依次可写出；（2）等差数列是11阶“归化数列”，则，，这样有，知当时，，当时，，由此可得的通项公式分别为或；（3）对阶“归化数列”，从已知上我们只能知道在中有正有负，因此为了求，我们可以设是正的，是负的，这样，，

证毕．

 

（1）设成公比为的等比数列，显然，则由，

得，解得，由得，解得，

所以数列或为所求四阶“归化数列”； 4分

（2）设等差数列的公差为，由，

所以，所以，即， 6分

当时，与归化数列的条件相矛盾，

当时，由，所以，

所以 8分

当时，由，所以，

所以（n∈N*，n≤11），

所以（n∈N*，n≤11）， 10分

（3）由已知可知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2， ，n，且i≠j)．

设为诸ai中所有大于0的数，为诸ai中所有小于0的数．

由已知得X=++ +=，Y= + + +=－．

所以． 16分

考点：新定义，新定义概念的应用，等差数列与等比数列的通项和前项和公式，不等式的放缩法．