Question

若任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

成立，则称f（x） 是[a，b]上的凸函数．试问：在下列图象中，是凸函数图象的为（　　）

A．

B．α

C．

D．

Answer 1

分析：由已知中凸函数的定义，结合四个答案中的图象，逐一分析任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂时，f（

x1+x2

2

）与

f(x1)+f(x2)

2

大小关系，比照定义可得答案．

解答：解：∵任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

成立
∴函数f（x）是[a，b]上的凸函数
任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，
则A中，f（

x1+x2

2

）=

f(x1)+f(x2)

2

成立，故A不满足要求；
则B中，f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

成立，故B不满足要求；
则C中，f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

成立，故C满足要求；
则D中，f（

x1+x2

2

）与

f(x1)+f(x2)

2

大小不确定，故D不满足要求；
故选C

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中正确理解已知中凸函数的定义，是解答本题的关键．