Question

【题目】设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D. 0

Answer 1

【答案】B

【解析】

先设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再讨论S中含有的的个数，若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.再作差比较的大小，即得Smin=S3=4a·b.最后利用向量的数量积公式求a与b的夹角.

设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.

又|b|=2|a|,

所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3<S2<S1,故Smin=S3=4a·b.设a,b的夹角为θ,则Smin=4a·b=8|a|2cos θ=4|a|2,即cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.

故答案为：B