Question

（1）已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的两根，求数列{a_n}通项公式
（2）设bn=

2

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a₁=5，a₂=9，从而可求公差d=4，于是可求得数列{a_n}通项公式；
（2）由b_n=

2

anan+1

=

1

2

（

1

4n+1

-

1

4n+5

），可证得数列{b_n}的前n项和为S_n=

1

2

（

1

5

-

1

4n+5

）＜1．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₁=5，a₂=9，
∴公差d=4，
∴a_n=4n+1；
（2）证明：∵b_n=

2

anan+1

=

1

2

（

1

4n+1

-

1

4n+5

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n+1

-

1

4n+5

）]
=

1

2

（

1

5

-

1

4n+5

）＜

1

10

＜1．

点评：本题考查等差数列的通项公式，考查裂项法求和，（2）中求得b_n=

1

2

（

1

4n+1

-

1

4n+5

）是关键，属于中档题．