Question

【题目】如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，

且 ().

（1）当时，求三棱锥的体积；

（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）正四棱柱中， 平面，可得 ；（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得， ，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.

试题解析：（1）由，得， 又正四棱柱，则平面，

则 .

（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），

则， ， ， ，

即，

又异面直线与所成角的大小为，

则,

化简整理得，又，即.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.