Question

设0≤x≤a，求函数f（x）=3x⁴-8x³-6x²+24x的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=12x³-24x²-12x+24=12（x+1）（x-1）（x-2），从而确定单调区间，从而分类讨论求最值．

解答： 解：∵f（x）=3x⁴-8x³-6x²+24x，
∴f′（x）=12x³-24x²-12x+24
=12（x+1）（x-1）（x-2）
∴f（x）在[0，1]，[2，+∞）上是增函数，在[1，2]上是减函数；
①当0＜a≤1时，
f_min（x）=f（0）=0；f_max（x）=f（a）=3a⁴-8a³-6a²+24a；
②当1＜a≤2时，
f（0）=0，f（2）=8，f（1）=13；
f_min（x）=0；f_max（x）=f（1）=13；
3x⁴-8x³-6x²+24x-13=3（x-1）²（x+

2 10 -1

3

）（x-

2 10 +1

3

）；
③当2＜a≤

2 10 +1

3

时，
f_min（x）=0；f_max（x）=f（1）=13；
④当a＞

2 10 +1

3

时，
f_min（x）=f（0）=0；f_max（x）=f（a）=3a⁴-8a³-6a²+24a．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于难题．