精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f(x)=x3-3a2x+b(a,b∈R)在x=2处的切线方程为y=9x-14.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令函数g(x)=x2-2x+k
①若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)能成立,求实数k的取值范围;
②设函数y=g(x)的图象与直线x=2交于点P,试问:过点P是否可作曲线y=f(x)的三条切线?若可以,求出k的取值范围;若不可以,则说明理由.

解:(1)f′(x)=3x2-3a2由f(x)在x=2处的切线方程为y=9x-14
所以故f(x)=x3-3x+2.
(2)①令f′(x)=0即3x2-3=0得x=±1
所以当x∈[0,1]时,有f′(x)<0,此时f(x)递减
当x∈(1,2]时,有f′(x)>0,此时f(x)递增
又因为f(0)=2,f(2)=4,有f(0)<f(2)
所以f(x)max=f(2)=4又知g(x)min=g(1)=1-2+k=k-1
因为存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立 所以有f(x)max≥g(x)min
得:4≥k-1即k≤5
所以实数k的取值范围是(-∞,5].
②由题意知P(2,k)
设切点坐标为(x0,y0),则有y0=x03-3x0+2又切线的斜率为3x02-3
所以其切线方程为:y-(x03-3x0+2)=(3x02-3)(x-x0
因为切线过点P,故有k-(x03-3x0+2)=(3x02-3)(2-x0
即k=-2x03+6x02-4因为过点P可以作曲线f(x)的三条切线
所以方程k=-2x03+6x02-4有三个不同的实数解
令h(x)=-2x3+6x2-4
则由h′(x)=-6x2+12x=0得x=0,x=2
当x∈(-∞,0),(2,+∞)时,有h′(x)<0,此时h(x)递减
当x∈(0,2)时,有h′(x)>0,此时h(x)递增
所以h(x)极大=h(2)=4,h(x)极小=h(0)=-4
所以-4<k<4
故k的取值范围是(-4,4)
分析:(1)对函数求导,根据函数在x=2处的切线方程为y=9x-14,从线的斜率和点在线上两个方面来列出方程组,解方程组得到结果.
(2)①对函数求导,判断函数的单调性,根据单调性做出函数f(x)max和g(x)min的值,根据存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立 所以有f(x)max≥g(x)min,解出要求的结果.
②设出切点的坐标为(x0,y0),则有y0=x03-3x0+2,又切线的斜率为3x02-3,写出切线的方程,构造新函数,对对新函数求导,求出函数的单调区间和极值,得到结果
点评:本题考查导数在最之中的应用,考查切线与函数导数的关系,解题的关键是构造新函数,利用函数的性质解决问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案