Question

11．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．
（1）若要求纸箱的侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若要求纸箱的容积V（cm³）最大，试问x应取何值？

Answer 1

分析 （1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；
（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．

解答 解：（1）S=2x（50-2x+80-2x）=2x（130-4x）≤$\frac{1}{2}$•$（\frac{4x+130-4x}{2}）^{2}$=$\frac{4225}{2}$，
当且仅当4x=130-4x，即x=$\frac{65}{4}$cm，纸箱的侧面积S（cm²）最大；
（2）V=x（50-2x）（80-2x）（0＜x＜12.5），
V′=（50-2x）（80-2x）-2x（80-2x）-2x（50-2x）=4（3x-100）（x-10），
∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，
∴x=10cm时，V最大．

点评 （1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单