Question

已知直线l₁：y=x和直线l₂：y=-x，动点M到x轴的距离小于到y轴的距离，且M到l₁，l₂的距离之积为常数4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线L与曲线C交与P、Q，若

PN

=2

NQ

，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）利用动点M到x轴的距离小于到y轴的距离，且M到l₁，l₂的距离之积为常数4，可得方程

|x-y|

2

•

|x+y|

2

=4且|x|＞|y|，化简即可得；
（2）将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及

PN

=2

NQ

，即可求直线方程．

解答：解：（1）由题意

|x-y|

2

•

|x+y|

2

=4且|x|＞|y|，
∴x²-y²=8   …（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易知直线倾斜角不为0，可设直线L方程为 x=ty+3
代入双曲线方程得：（t²-1）y²+6ty+1=0，△＞0
y1+y2=

-6t

t2-1

，y1y2=

1

t2-1

             （1）
又

PN

=2

NQ

  则y₁=-2y₂               （2）
联立（1）（2）得：t=±

1

73

所以直线L方程为：

73

x±y-

73

=0                …（12分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要轨迹方程的求解，考查直线与双曲线的位置关系，关键是联立方程，利用韦达定理求解．