Question

19．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α为参数，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），M是C₁上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，点P的轨迹为C₂．
（1）求曲线C₁、C₂的普通方程．
（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，直线l与曲线C₂相交于A、B，求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α为参数，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），消去参数α可得普通方程．设P（x，y），M（x₀，y₀），利用P点满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，可得x₀=2x，y₀=2y，代入曲线C₁的方程即为点P的轨迹方程．
（2）直线l的极坐际方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）+$\sqrt{2}$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立解得A，B，利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α为参数，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），消去参数α可得普通方程：y²=2x．
设P（x，y），M（x₀，y₀），∵P点满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，∴x₀=2x，y₀=2y，
代入曲线C₁的方程可得：4y²=4x，化为y²=x，即为点P的轨迹方程．
（2）直线l的极坐际方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）+$\sqrt{2}$=0，化为直角坐标方程：y-x+2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-x+2=0}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，化为y²-y-2=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（-1-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
原点到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=3．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、抛物线方程、坐标变换、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．